VO: Mathematische Methoden in der Ökologie, Lettner, Wickham
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Prüfung vom 2. Februar 2007, WS06/07
Der Autor gibt bezüglich Richtigkeit und Vollständigkeit der Antworten keine Garantie, diese sollen lediglich als Lernhilfe dienen und zum selber beantworten anregen!
Antworten für den Test WS06/07, 2. Februar 2007
1) a)Wachstumsrate: intrinsische WR: Änderungsrate pro Individuum (Zuwachs in der Zeiteinheit pro Individuum)
b)Replikationsrate: Anzahl der Nachkommen + 1 (Ausgangsindividuum) pro Zeiteinheit R = e r
c)Verdoppelungszeit: Jene Zeit die eine Funktion benötigt um den doppelten aktuellen (bzw. Ausgangs-) Wert zu erreichen. tD= ln(2) / r
2) r = intrinsische Wachstumsrate, N = Anzahl der Ausgangsindividuen, K = Kapazität (des Habitats), t = Zeit in Sekunden/Minuten/Stunden/...
3) ein altersstrukturiertes Wachstumsmodell
4) http://upload.wikimedia.org/math/d/4/3/d437652ac6f7cadf8c58fd85efd78241.png
5) Der Erwartungswert ist der wahre arithmetische Mittelwert der zugrundeliegenden Verteilung. Bei einer Normalverteilung der arithmetische Mittelwert der Grundgesamtheit (fällt mit dem Modus zusammen). Bei einer Binomial bzw. Poissonverteilung der wahrscheinlichste Wert (=arithmetisches Mittel und Modus).
6) Es handelt sich um eine Poissonverteilung. Diese ist ein Spezialfall der Binomialverteilung bei extrem kleinen Wahrscheinlichkeiten wie in diesem Fall p = 0,001. Auf Grund der kleinen Warscheinlichkeit lässt sie sich trotz großem Stichprobenumfang NICHT mit einer Normalverteilung approximieren.
7) Typ I Fehler: Nullhypothese ist richtig, wird aber verworfen (z.B. kein Unterschied zwischen zwei Testgruppen, wir sagen es gibt einen Unterschied) Typ II Fehler: Nullhypothese ist falsch, aber wir nehmen sie trotzdem an (z.B. es ist ein wahrer Unterschied zwischen zwei Gruppen, wir erkennen ihn nicht und sagen es gibt keinen)
Der Typ I fehler wird durch das Signifikanzniveau alpha vorgegeben, er ist niedrig zu halten, wenn "false-positives" vermeidet werden sollen (teures Medikament-wirkt es oder nicht?). Man sollte ein höheres Signifikanzniveau alpha verwenden, wenn die Vermutung besteht, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Typ II Fehler hoch ist.
8) Nullhypothese: es gibt KEINEN Unterschied zwischen den Frequenzen für Tod und Leben zwischen den Gruppen mit und ohne Schadstoff
Tod: 13+25 = 38, Lebend: 44+28=72, Total: 110 => Wahrscheinlichkeit zu sterben: 38/110=0,3454
Erwartete Hfg.: Ohne Schadstoff: (13+44)*0,3454=19,69 tote Mäuse; Mit Schadstoff: (25+28)*0,3454=18,3 tote Mäuse
9) Die Daten folgen einer Normalverteilung, sind zufällig und unabhängig voneinander.
10) Der P-Wert oder Signifikanz ist jene Wahrscheinlichkeit mit der wir einen Fehler machen, wenn wir die Nullhypothese ablehnen obwohl kein wahrer Unterschied besteht (Typ I Fehler oder alpha Fehler).
Prüfung aus dem WS07/08 von Prof. Lettner zur Prüfungsvorbereitung verschickt:
Der Autor gibt bezüglich Richtigkeit und Vollständigkeit der Antworten keine Garantie, diese sollen lediglich als Lernhilfe dienen und zum selber beantworten anregen!
Antworten für den Test WS07/08, 5. März 2008
1) DI << 1: Die Population ist gleichmäßig/regelmäßig verteilt
2) Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen ist gleich dem Mittelwert der zugrunde liegenden Verteilung (Grundgesamtheit). Mit steigender Anzahl der Stichproben n konvergiert der arithmetische Mittelwert der Stichprobe gegen den Erwartungswert.
3) KI = Konfidenzintervall von 95% -> mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegt ein Wert der Verteilung in dem angegebenen Konfidenzintervall von 27,20 +-2,30
4)
n(t) = n(0) * 0,95^t
0,4 * n(0) = n(0) * 0,95^t
t = log(0,4)/log(0,95)
t = 17,86 => nach 18 Jahren ist die Population auf 40% der Ausgangsgröße geschrumpft!
5) Median = nicht parametrischer Lageparameter, gibt den Wert an, bei dem 50% der Werte größer oder kleiner sind.
6) Es gibt wahrscheinlich einige extrem kleine Werte die den arithmetischen Mittelwert nach unten ziehen, der Median bleibt als nicht parametrischer Lageparameter davon unberührt. Außerdem ist davon auszugehen, dass es nur wenige sehr große Werte gibt, die die Wirkung der sehr kleinen Werte ausgleichen könnten. Siehe Skizze Vorlesungsunterlagen Wickham 1
7)a) Kruskal-Wallis H Test
b) Rangsumme von jeder Gruppe berechnen, Einsetzen in die Formel (siehe Skript) -> H Wert mit Tabelle mit kritischen Chi² Werten (bei mehr als 5 Beobachtungen pro Gruppe) bzw. einer Spezialtabelle vergleichen
c) ANOVA setzt die Normalverteilung der Daten vorraus, ist dies nicht der Fall, ist es besser den Kruskal-Wallis H Test zu verwenden. Die anderen Vorraussetzungen (unabhängige Proben, zufällige Proben) sind bei beiden Tests gleich!
8)a) ein Post-Hoc test wird benutz, wenn man Daten hat und Unterschiede zwischen den Gruppen finden will aber keine Hypothese hat, wo diese liegen könnten. Er wird nach der ANOVA durchgeführt, daher auch der Name.
b) I) führt man zu viele Tests mit den gleichen Daten durch steigt die experimentelle Fehlerrate (EFR) II) führt man einen post-hoc Test mit einer schwachen Hypothese (ich weiss nicht wo der Unterschied liegt, aber hier ist der Unterschied etwas größer, also teste ich hier) durch sind die Daten nicht mehr 100% zufällig. (post-hoc Tests sind weniger stark (d.h. konservativer) als ein Kontrast bei dem man eine Hypothese hat).
c) Tukey's, Ryan's Q, Dunnet (vergleich vieler Gruppen mit einer Kontrollgruppe)
9) Typ I Fehler: Nullhypothese ist richtig, wird aber verworfen (z.B. kein Unterschied zwischen zwei Testgruppen, wir sagen es gibt einen Unterschied) Typ II Fehler: Nullhypothese ist falsch, aber wir nehmen sie trotzdem an (z.B. es ist ein wahrer Unterschied zwischen zwei Gruppen, wir erkennen ihn nicht und sagen es gibt keinen)
Der Typ I fehler wird durch das Signifikanzniveau alpha vorgegeben, er ist niedrig zu halten, wenn "false-positives" vermeidet werden sollen (teures Medikament-wirkt es oder nicht?). Man sollte ein höheres Signifikanzniveau alpha verwenden, wenn die Vermutung besteht, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Typ II Fehler hoch ist.
10)a) 6 Punkte bestimmen den Verlauf der linearen Regression sehr stark während die anderen Punkte nur wenig Einfluss auf den Verlauf der Linie haben. Die Residuen sind sehr ungleich verteilt was auf eine schlechte Anpassung der Kurve schließen lässt.
b) durch Linearisieren, in diesem Fall Logarithmieren, der Daten
1. Prüfungstermin WiSe 2008/09
Prüfungsdauer: 60 min.
Der Autor gibt bezüglich Richtigkeit und Vollständigkeit der Antworten keine Garantie, diese sollen lediglich als Lernhilfe dienen und zum selber beantworten anregen!
1. Wenn man einen statistischen Test durchführt, kann man zwei Typen von Fehlern machen, so genannte Typ I und Typ II Fehler.
a) Was genau sind Typ I und Typ II Fehler
b) Wie werden sie kontrolliert?
Antwort: a) Typ I Fehler: Nullhypothese ist richtig, wird aber verworfen (z.B. kein Unterschied zwischen zwei Testgruppen, wir sagen es gibt einen Unterschied)
Typ II Fehler: Nullhypothese ist falsch, aber wir nehmen sie trotzdem an (z.B. es ist ein wahrer Unterschied zwischen zwei Gruppen, wir erkennen ihn nicht und sagen es gibt keinen)
b) Der Typ I fehler wird durch das Signifikanzniveau alpha vorgegeben, er ist niedrig zu halten, wenn "false-positives" vermeidet werden sollen (teures Medikament-wirkt es oder nicht?). Man sollte ein höheres Signifikanzniveau alpha verwenden, wenn die Vermutung besteht, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Typ II Fehler hoch ist.
2. Die folgenden Daten sind eine Stichprobe der Größe einer Barsch Population in einem See. Um den Lageparameter (die Mitte der Verteilung) herauszufinden, kann man parametrische und nicht-parametrische Lageparameter benutzen.
a) Bitte nennen Sie einen parametrischen und einen nicht parametrischen Lageparameter
b) Was ist der Unterschied zwischen den zwei?
c) ist für diese Daten ein parametrischer oder ein nicht parametrischer Lageparameter besser geeingnet? Begründung?
15,2 16,0 16,3 16,4 17,4 18,2 18,4 18,6 19,4 20,1 38,9
Antwort: a) parametrischer: arithmetischer Mittelwert, nicht parametrischer: Median, Modus
b) parametrische Lageparameter werden auch von "Außreissern" an den Enden einer Verteilung stark beeinflusst (Annahme: Daten sind Normal (t)-verteilt) während diese für nicht-parametrische Lageparameter keine Rolle spielen (Verteilung der Daten egal).
c) ein nicht-parametrischer, da 38,9 den Mittelwert stark verfälschen würde.
3. Mit einem Daphnia-Test kann man die Wirkung von potentiellen Umweltschadstoffen auf aquatische Organismen prüfen. Die Anzahl der lebendigen und gestorbenen Daphnia wird in Bechergläsern mit und ohne Schadstoff nach einer bestimmten Zeit gezählt. Die Anzahl der lebenden und toten Daphnien am Ende des Experiments ist in der Tabelle angegeben.
a) Wenn wir einen Chi Quadrat Test benutzen, um die Wirkung des Schadstoffes zu testen, was genau ist die Nullhypothese?
b) Berechnen Sie die erwarteten Häufigkeiten
Ohne Schadstoff Tod: 13 Lebend 44
Mit Schadstoff Tod: 25 Lebend: 28
Antwort: a) Nullhypothese: es gibt KEINEN Unterschied zwischen den Frequenzen für Tod und Leben zwischen den Gruppen mit und ohne Schadstoff
b) Tod: 13+25 = 38, Lebend: 44+28=72, Total: 110 => Wahrscheinlichkeit zu sterben: 38/110=0,3454
Erwartete Hfg.: Ohne Schadstoff: (13+44)*0,3454=19,69 tote Daphnien; Mit Schadstoff: (25+28)*0,3454=18,3 tote Daphnien
4. Wir führen ein Experiment über den Einfluss der Nährstoffquelle (Nitrat und Ammonium) auf die Wachstumsrate von Algen in einem See durch. Wir nehmen insgesamt 12 Faschen mit Seewasser. Die 12 Flaschen werden in 4 Gruppen geteilt und bekommen:
i. kein Nährstoff
ii. 20 µg Nitrat / L
iii. 20 µg Ammonium / L
iv. 10 µg Nitrat + 10 µg Ammonium
a) Wir wollen die Fragen beantworten, ob die Nährstoffquelle einen Einfluss auf die Wachstumsrate der Algen hat und ob die Wirkung von Nitrat unabhängig von der Wirkung von Ammonium ist. Mit welchem Test würden Sie die Hypothesen testen?
b) Wenn wir 4 Proben pro Falsche genommen hätten ( also 48 Proben insgesamt) wäre die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen signifikanten Unterschied finden würden deutlich höher. Warum dürfen wir das nicht?
Antwort: a) ANOVA mit Dunnet's post-hoc Test (Vergleich der Kontrollgruppe ohne Nährstoff mit den drei anderen Gruppen)
b) weil die Proben nicht unabhängig voneinander sind und man dadurch die Wahrscheinlichkeit für einen sig. Unterschied erhöht.
5. Wie hängen Mittelwert der Stichprobe und der Erwartungswert einer Grundgesamtheit zusammen?
Antwort: x-quer ist eine Schätzung für µ, die sich aus der Stichprobe ergibt. geht die Größe der Stichprobe (n) gegen unendlich nähert sich x-quer immer näher an µ an (die Stichprobe erfasst dann die Grundgesamtheit)
6. Von einer Grundgesamtheit nehmen wir an, dass sie normalverteilt ist. Sie wollen nun einen Bereich angeben, innerhalb dessen der Mittelwert der Grundgesamtheit (wie heißt dieser mit dem Fachausdruck) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zu liegen kommt. Wie heißt dieser Bereich und wie wird er angegeben. Wie gehen Sie vor?
Antwort: Der Mittelwert der Grundgesamtheit heißt Erwartungswert E(x) = µ. Der Bereich in dem 95% der Werte zu liegen kommen heißt Konfidenzintervall und beträgt µ+-1,96sigma. Diese Werte sind in einer Tabelle der Standardnormalverteilung angegeben und lassen sich mit Hilfe der Formel Z = (x-µ)/sigma auf andere Normalverteilungen umrechnen.
7. Wie ist bei einer normalverteilten Grundgesamtheit der Mittelwert der Stichproben vom Umfang n verteilt?
Antwort: ebenfalls Normalverteilt: die Standardabweichung des Mittelwertes X-quer ist um den Faktor 1/sqrt(n) kleiner als die Standardabweichung von X.
8. Sie messen mit dem Geigerzähler mehrmals hintereinander die Anzahl der Impulse pro Minute und bestimmen den Mittelwert \overline{x} warum ist \sqrt\overline {x} eine Schätzung für die Standardabweichung der Grundgesamtheit?
Antwort: Die Impulse folgen einer Poisson-Verteilung, für die gilt: sigma = \sqrt\overline{x}
9. In einer altersstrukturierten wachsenden Bevölkerung kommt es im Lauf der Zeit, wenn die Geburtsraten und die Sterberaten der jeweiligen Altersklassen konstant sind, zu einer stabilen Altersverteilung.
a) Was heißt stabile Altersverteilung konkret?
b) Wie entwickelt sich die Bevölkerung insgesamt?
Antwort: a) Das Verhältnis der einzelnen Altersgruppen ist im Jahr x und im Jahr x+1 (annähernd) gleich
b) Abhängig von Geburten- und Sterberate kommt es zu einer Verjüngung oder Überalterung der Bevölkerung, ist die stabile Altersverteilung erreicht bleibt auch das Durchschnittsalter unverändert.
10. Wie ermitteln Sie den Dispersionsindes DI einer räumlichen Verteilung und was sagt er aus? Welche Teststatistik haben Sie dafür in der Vorlesung kennen gelernt und wie wird sie berechnet?
Antwort: DI sagt aus, ob eine räumliche Verteilung I) gruppiert (DI > 1), II) zufällig (DI = 1) oder III) regelmäßig (DI < 1) ist
- Einteilung einer Beobachtungsfläche in Teilflächen
- Ermittlung der durchschnittlichen Anzahl von Beobachtungen pro Teilfläche und der Standardabweichung der Verteilung
- Berechnung des Dispersionsindex DI = s²/x-quer
- Berechnung der Teststatistik t und Zuordnung zum passenden Feld nach den Entscheidungskriterien: t=DI(n-1)
- Anpassung eines entsprechenden Verteilungsmodells an die Daten
Prüfung vom 02.02.2011
- Kein Taschenrechner und keine Formelsammlung
- Alte Fragen!
- Neu: Berechne die Verdopplungszeit einer Bevölkerung, wenn das jährliche Wachstum 2,9% beträgt
- Neu: Je ein Beispiel für positive und negative Rückkopplung beim Bevölkerungswachstum
